Topological gradient for fourth order PDE and application to the detection of fine structures in 2D images

In this paper we describe a new approach for the detection of fine structures in an image. This approach is based on the computation of the topological gradient associated to a cost function defined from a regularization of the data (possibly noisy). We get this approximation by solving a fourth order PDE. The study of the topological sensitivity is made both in the cases of a circular inclusion and a crack. We illustrate our approach by giving two experimental results. To cite this article: A. Name1, A. Name2, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 340 (2005). Résumé Gradient topologique pour des EDP du quatrième ordre et application à la détection de structures fines dans des images 2D. Dans cette note on décrit une nouvelle approche pour la détection de structures fines dans une image. Cette approche est basée sur le calcul du gradient topologique associé à une fonction coût définie à partir des dérivées secondes d’une régularisation des données (éventuellement bruitées). Cette régularisation est obtenue via la résolution d’une EDP du quatrième ordre. L’étude de la sensibilité topologique est faite dans les cas d’une inclusion circulaire et d’un crack. Nous illustrons notre approche en donnant deux résultats expérimentaux. Pour citer cet article : A. Name1, A. Name2, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 340 (2005). Version française abrégée Dans cette note on propose un nouveau modèle pour la détection de structures fines (points et filaments) dans une image définie sur un domaine Ω ⊂ R. Notre modèle est basé sur l’étude de la sensibilité topologique d’une fonction coût j(Ω) = J(Ω, uΩ) où uΩ est la solution d’une EDP du quatrième ordre. Nous étudions cette sensibilité lorsqu’on perturbe Ω en lui enlevant des objets ωǫ de taille ǫ. Les exemples Email addresses: [email protected] (Gilles Aubert), [email protected] (Audric Drogoul). Preprint submitted to the Académie des sciences July 4, 2014 les plus simples adaptés à l’étude de structures fines sont ωǫ = B(x0, ǫ) la boule de centre x0 et de rayon ǫ et ωǫ = x0+ ǫσ(n) où σ(n) est un segment de droite de normale n. Nous montrons pour ces exemples que j(Ωǫ) admet le développement asymptotique (1) où I(x0) est, par définition, le gradient topologique au point x0. Par conséquent si on veut minimiser j(Ωǫ) il est souhaitable d’insérer des petites boules ou des cracks aux points x0 où I(x0) est “le plus négatif” possible. D’un point de vue de l’analyse d’images ces petites structures correspondent aux structures fines qu’on veut détecter. La question est : quelles fonction coût et EDP doit on utiliser pour détecter de telles structures ? Si pour la détection de contours d’objets dans une image il est classique d’utiliser des opérateurs construits à partir du gradient spatial, ce choix est complètement inopérant pour la détection de structures fines : le gradient “ne voit pas” ces structures. Pour détecter ce type de structures il est connu ([10],[7]) qu’il faut utiliser des opérateurs différentiels d’ordre 2. Nous avons choisi pour cela la fonction coût définie en (2) liée à la modélisation de l’équilibre d’une plaque mince soumise à des forces extérieures. Le calcul très technique du gradient topologique revient à estimer la différence Jǫ(uǫ) − J0(u0) où Jǫ(u) = JΩǫ(u). uǫ est l’unique solution du problème variationnel aǫ(uǫ, v) = lǫ(v), pour tout v dans H(Ωǫ) = { u ∈ L(Ωǫ),∇u ∈ L(Ωǫ) } où aǫ(u, v) et lǫ(v) sont définis respectivement par (3) et (4). L’ expression du gradient topologique est donnée en (16), (15) pour le cas du crack et (17) pour le cas d’une inclusion circulaire. On conclut cette note en illustrant l’approche par deux résultats expérimentaux.